Natural Induction: An Objective Bayesian Approach

The statistical analysis of a sample taken from a finite population is a classic problem for which no generally accepted objective Bayesian results seem to exist. Bayesian solutions to this problem may be very sensitive to the choice of the prior, and there is no consensus as to the appropriate prior to use. This paper uses new developments in reference prior theory to justify and generalize Perks (1947) ([15]) ‘rule of succession’ — determining the probability that a new element from a population will have a property, given that all n previous elements from a random sample possessed the property — and to propose a new objective Bayesian solution to the ‘law of natural induction’ problem — determining the probability that all elements in a finite population have the property, given that all previous elements had the property. The prior used for the first problem is the reference prior for an underlying hypergeometric probability model, a prior first suggested by Jeffreys (1946) ([10]) and recently justified on the basis of an exchangeability argument in Berger, Bernardo and Sun (2009) ([4]). The reference prior in the second problem arises as a modification to this prior that results from declaring the quantity of interest to be whether or not all the elements in the finite population have the property under scrutiny. Inducción en las Ciencias de la Naturaleza: Una Solución Bayesiana Objetiva Resumen. El análisis estadı́stico de una muestra aleatoria extraı́da de una población finita es un problema clásico para el que no parece existir una solución bayesiana generalmente aceptada. Las soluciones bayesianas a este problema pueder ser muy sensibles a la elección de la distribución inicial, y no existe consenso sobre la distribución inicial que deberı́a ser utilizada. En este trabajo se hace uso de desarrollos recientes del análisis de referencia para justificar y generalizar la solución de Perks (1947) ([15]) a la ‘regla de sucesión’ — la probabilidad de que un nuevo elemento de la población tenga una propiedad si todos los elementos de una muestra aleatoria la tienen — y para proponer una nueva solución bayesiana objetiva a la ‘ley de inducción natural’, — la probabilidad de que todos los elementos de una población finita tengan una propiedad si todos los elementos de la muestra la tienen. La distribución inicial utilizada para el primer problema es la distribución de referencia para el modelo probabilı́stico hipergeométrico subyacente, una distribución inicial sugerida por Jeffreys (1946) ([10]) y recientemente justificada utilizando un argumento de intercambiabilidad en Berger, Bernardo and Sun (2009) ([4]). La distribución de referencia para el segundo problema se obtiene Presentado por / Submitted by Francisco Javier Girón González-Torre. Recibido / Received: 12 de febrero de 2009. Aceptado / Accepted: 4 de marzo de 2009. Palabras clave /